Прямоугольник – это в первую очередь геометрическая плоская фигура. Она состоит из четырех точек, которые соединены между собой двумя парами равных отрезков, перпендикулярно пересекающихся только в этих точках.
Прямоугольник определяют через параллелограмм. По-другому, прямоугольник – это параллелограмм, углы которого все прямые, то есть равные 90 градусам. В геометрии Евклида, если у геометрической фигуры 3 из 4 углов равны 90 градусам, то четвёртый угол автоматически равен 90 градусам и такую фигуру можно назвать прямоугольником. Из определения параллелограмма ясно, что прямоугольник – множество разновидностей этой фигуры на плоскости. Из этого следует, что свойства параллелограмма применимы и к прямоугольнику. Например: в прямоугольнике противолежащие стороны равные по своей длине.
В геометрии прямоугольник – это базовая фигура. Существует множество подвидов прямоугольника, которые имеют особые свойства и характеристики.
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Доказательство
Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Противоположные стороны равны.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Противоположные стороны параллельны.
AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD
4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Диагонали прямоугольника равны.
AC = BD
Доказательство
Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит AB = CD .
Следовательно, \triangle ABD = \triangle DCA по двум катетам (AB = CD и AD — совместный).
Если обе фигуры — ABC и DCA тождественны, то и их гипотенузы BD и AC тоже тождественны.
Значит, AC = BD .
Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.
Докажем и это.
ABCD — параллелограмм \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условию. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA уже по трем сторонам.
Получается, что \angle A = \angle D (как углы параллелограмма). И \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Выводим, что \angle A = \angle B = \angle C = \angle D . Все они по 90^{\circ} . В сумме — 360^{\circ} .
Доказано!
6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон.
Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
AO = BO = CO = DO
9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности .
10. Сумма всех углов равна 360 градусов.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}
11. Все углы прямоугольника прямые.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}
12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.
13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.
Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна 180^{\circ}
\angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ}
14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом).
У которого все углы прямые (равны 90 градусам)
Примечание . В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый (в силу о углов ) также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360° - прямоугольников не существует.
Свойства
- Диагонали прямоугольника равны.
- Прямоугольник является параллелограммом - его противоположные стороны параллельны.
- Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
- диагонали прямоугольника равен сумме двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
- Около любого прямоугольника можно описать , причем диагональ прямоугольника равна описанной окружности.
Площадь и периметр
- Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его длину (высоту).
- Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.
Признаки
Параллелограмм является прямоугольником, если выполняются условия:
- Если 4 угла равны 90 градусам, то это прямоугольник
- Если диагонали параллелограмма равны.
- Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов не противолежащих сторон.
Стороны и диагонали
- Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной - длину более короткой пары сторон.
- Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.
Прямоугольник - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых, у которого все углы прямые (равны 90 градусам), диагонали прямоугольника равны, . Стороны прямоугольника являются его высотами. Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной - длину более короткой пары сторон. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора). Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его длину. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины. Длины диагоналей прямоугольника равны. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины. Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали). Частными случаями прямоугольника являются параллелограмм, квадрат и ромб.
Отрезок, линия - с, c 1
, соединяющая противоположные углы прямоугольника - A-A 2
, A 1 -A 3
и образующей углы B-B 1
, C-C 1
.
A
- прямой угол прямоугольника,
угол - A, A 1 , A 2 , A 3
между сторонами прямоугольника, между длиной - a, a 1
и шириной прямоугольника - b, b 1
, по значению равны - 90 o
.
B
- угол прямоугольника,
угол - B, B 1 , B 2 , B 3
между диагональю - с, c 1
, и длиной - a, a 1
90 o
- больше 0 o
, сумма значений угла - B-С
(B 1 -C 1
, B 2 -C 2
, B 3 -C 3
A
(A 1
, A 2
, A 3
).
C
- угол прямоугольника,
угол - C, С 1 , С 2 , С 3
между диагональю - с, c 1
, и шириной - b, b 1
прямоугольника, может принимать значения в диапазоне - меньше 90 o
- больше 0 o
, сумма значений угла - B-С
(B 1 -C 1
, B 2 -C 2
, B 3 -C 3
) всегда равна значению угла - A
(A 1
, A 2
, A 3
).
e
- центр прямоугольника,
центр симметрии вращения при углах поворота - 180 o
, 360 o
, центральная точка осевых линий зеркальной симметрии прямоугольника по осевым линиям, точка деления диагоналей - с, с 1
на две равные части, точка пересечения диагоналей и 2 x осевых линий прямоугольника.
S
- площадь прямоугольника,
множество точек расположенных между длиной - a
и шириной - b
прямоугольника, образована произведением сторон прямоугольника, длины прямоугольника - a
на ширину прямоугольника - b
.