С началом изучения геометрии, все дети знакомятся с такими понятиями, как площадь и периметр. Если второе значение они учатся находить быстро, так как там не нужно умножение, то к значению площади младшие классы приходят позднее. Для начала, малышу нужно хорошо понять, что представляет из себя параллелепипед, какие грани он имеет и как выглядит в пространстве. Только потом стоит переходить к непосредственному перемножению и формуле площади. Как понять этот процесс постепенно, вы увидите в данной статье.
Параллелепипед также представляет собой зоноэдр. Зоноэдр - это форма, для которой каждое лицо имеет точечную симметрию. Это означает, что, глядя на центральную точку лица с двух противоположных направлений, какими бы ни были эти направления, вы всегда будете видеть точно то же самое.
Как и в большинстве геометрических форм, нас интересуют такие особенности, как общая площадь поверхности и объем параллелепипеда. Общая площадь поверхности параллелепипеда - это просто сумма площадей каждой из шести граней параллелепипеда, каждая из которых является параллелограммом. Как и в случае любого четырехугольника, площадь параллелограмма является произведением длины его основания и высоты. Одной стороной параллелограмма считается основание параллелограмма, а высота - это кратчайшее расстояние между стороной, выбранной для основания и противоположной ей стороны.
Как найти площадь параллелепипеда: грани фигуры
Чтобы понять, как именно находится площадь любой фигуры, вам достаточно найти её стороны. У параллелепипеда двенадцать рёбер и шесть граней. Попытайтесь заметить, сколько из них равны? Если вы находили площадь квадрата, то вам понадобилась бы всего одна величина, так как его стороны равны, у параллелепипеда же может быть своё значение высоты, ширины и длины. Вам достаточно знать три этих значения, чтобы найти площадь всей фигуры.
Помните также, что противоположные грани параллелепипеда будут конгруэнтными и, следовательно, иметь одну и ту же площадь. Объем параллелепипеда - это произведение площади основания параллелепипеда и его высоты. Основой параллелепипеда может быть любая из шести ее сторон. Высота параллелепипеда - это кратчайшее расстояние между гранью, выбранной как основание параллелепипеда, и лицом, которое напротив него. Принцип проиллюстрирован ниже.
Конечно, метод, используемый для нахождения объема параллелепипеда, будет очень сильно зависеть от информации, которую мы даем. Например, мы можем выбрать три ребра, которые встречаются на одной из восьми вершин параллелепипеда в виде трехмерных векторов. Поиск скалярного трехмерного произведения трех векторов объясняется на странице «Скалярное трехмерное произведение», который вы можете найти в разделе «Векторы и векторная арифметика». Под параллелепипедом понимается геометрическое тело, ограниченное шестью параллелограммами, параллельными параллельными плоскостями.
Посмотрите на рисунке, что называется шириной, длинной и высотой фигуры.
- a — высота параллелепипеда;
- b — его длинна. Длинной всегда является сама большая величина;
- с — ширина фигуры.
Заметьте, что, если бы величина «а» стала длиннее b в два раза, то она бы уже была длинной, а не высотой. Точно так же может быть с остальными сторонами. Все величины — сугубо относительное понятие, главное — вам понимать принцип их определения.
Параллелепипед имеет двенадцать ребер, четыре из которых параллельны и равны по длине. Если три ребра появляются в вершине в виде векторов, объем параллельного льна получается из количества позднего продукта. Поверхность определяется суммой отдельных поверхностей параллелограмма.
И специальные формы параллельного льна. Параллелепипед является специальным с параллелограммом в качестве базы. Также в этом общем случае Р является пространственным наполнителем. Объем геометрических объектов рассчитывается с использованием методов аналитической геометрии.
Как найти площадь параллелепипеда: формула
Когда вы знаете величины, вы без труда можете найти площадь параллелепипеда. Она выглядит так:
- S = (аb + bc + ac) х 2
То есть, вам нужно перемножить между собой все известные величины, сложить полученные значения, а потом умножить ещё на два. Умножение вдвое происходит потому, что параллелепипед — объёмная фигура и у неё есть совершенно одинаковые стороны.
Объем параллелотопа
Объем параллелотопа вычисляется путем выбора произвольной вершины и всех 3 направленных векторов, выходящих из нее.
Объем призмы
Объем призмы с треугольником в качестве основания составляет половину объема параллелотопа. Для общих призм основная поверхность всегда может быть разделена на треугольники, и можно рассчитать объем отдельных призм с треугольниками в качестве базовой стороны.Объем пирамиды
Объем пирамиды можно рассчитать как. Тетраэдр - это пирамида, в основе которой лежит треугольник. Тетраэдр однозначно определяется четырьмя точками. Формула для объема тетраэдра очень похожа на формулу объема пирамиды. В этой статье приведена формула для расчета объема тетраэдра на половину объема пирамиды. Однако в конце статьи вычисление объема пирамиды представляется как «применение до сих пор изученного», а формула для расчета тетраэдра умножается на 2. Не могли бы мы, например, рассмотреть расчет объема тетраэдра как применение формулы для объема пирамиды?
Посмотрите на пример:
У параллелепипеда высота равна всего 2 см, его длина аж 22 см, а ширина составляет 5 см. В целом, это длинная фигура, очень сплющенная в высоту, если попытаться ее себе представить в уме. Попробуйте найти площадь данного параллелепипеда.
- Сначала, вы перемножите все известные величины, то есть, 2*22, 2*5 и 5*22. Получаются значения 10 см, 44 см и 110 см соответственно.
- Сложите все полученные решения. 10+44+110 получится 164 см.
- Осталось лишь умножить 164 см на два. Выходит, площадь параллелепипеда 328 см.
Вот так просто можно узнать площадь фигуры. Чуть позднее, можно усложнить задачу и найти одну из сторон при известной площади. Это закрепит знания ребенка и не даст ему забыть о формуле, по которой находится площадь.
Это многоугольник, имеющий три стороны и три угла. Точка, где встречаются две стороны, называется углом. Сумма двух сторон треугольника всегда больше, чем третья. Сумма углов треугольника равна 180º. Очень часто классифицировать треугольники по сторонам и под углами.
Это прямая линия проходит через угол и через середину противоположной стороны. Есть три медианы, и три разрезаются в точке, называемой центром тяжести треугольника. Это линия, которая делит угол на две равные части. Есть три биссектрисы, и они разрезаются в точке, называемой стимулом. Этот момент имеет особенность, что, центрируя его, мы можем нарисовать внутренний круг к треугольнику и касаться трех сторон треугольника.
Что общего у кирпича, коробки из-под телевизора и дома? (Рис. 1.)
Рис. 1. Кирпич, дом и коробка из-под телевизора
Это перпендикулярная линия в середине отрезка. Биссектрисы на сторонах треугольника пересекаются в точке, называемой окрестностью. Создавая центр в этот момент, мы можем нарисовать круг, проходящий через три вершины треугольника. Прямая линия проходит через угол и перпендикулярна противоположной стороне. Есть три высоты и разрезаются в точке, называемой ортоцентром.
Самый известный треугольник - прямоугольник треугольника. Основная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой, а малая сторона - ногами. Этот треугольник имеет очень важное свойство: если мы построим квадраты по бокам, сумма площади квадратов, построенных в ногах, равна площади квадрата, построенного в гипотенузе.
Можно ли понять что-то про них такое, что относится к каждому из этих предметов?
В этом и состоит задача математики: изучать нечто общее у совершенно разных вещей.
Например, мяч и глобус - шары и Земля - почти шар. (Рис. 2.)
Рис. 2. Мяч и глобус
Полигоны: они представляют собой замкнутые геометрические фигуры, образованные сегментами прямых линий. Если все стороны и все углы многоугольника равны, многоугольник называется регулярным многоугольником. Наиболее важными являются полигоны: треугольник и четырехугольник.
Параллелограммы: они четырехугольники, которые параллельны друг другу. Прямоугольник, квадрат и ромб - параллелограммы. Трапеция: четырехугольник, имеющий две параллельные стороны. Окружность: это замкнутая линия, которая обладает тем свойством, что все точки этой линии находятся на одном и том же расстоянии от неподвижной точки.
Но вернемся к кирпичу, зданию и коробке. Как их возможно описать?
Это фигуры, ограниченные плоскостями (рис. 3). Каждая грань является прямоугольником. Все такие фигуры называются прямоугольными параллелепипедами
.
Рис. 3. Грани прямоугольного параллелепипеда
Сегмент линии, идущий от центра к окружности, называется радиусом. Линейный отрезок, идущий от одной точки окружности к другой, проходящей через центр, называется диаметром. Окружности имеют очень замечательное свойство: если мы измеряем длину окружности и делим ее на ее диаметр, она всегда дает такое же число.
Поверхность, ограниченная окружностью, называется кругом. Эллипс. Это замкнутая линия, обладающая тем свойством, что сумма расстояний в двух заданных точках постоянна. Сегмент линии, соединяющий две самые отдаленные точки, называется главной осью. Сегмент линии, соединяющий две менее отдаленные точки, называется вспомогательной осью.
По названию видно, что бывают и непрямоугольные параллелепипеды. Действительно, гранями параллелепипеда могут быть не только прямоугольники, а и произвольные параллелограммы (рис. 4).
Рис. 4. Произвольный параллелограмм
Так же, как из прямоугольника можно сделать обычный параллелограмм, так и из прямоугольного параллелепипеда легко сделать «косой параллелепипед» (рис. 5).
Центр - это точка разреза осей. Вершины - это четыре точки, где оси пересекают эллипс. Фокусы - это две точки, расположенные на большой оси, на равном расстоянии от центра и удовлетворяющие условию, что сумма расстояний от этих точек до любой точки эллипса является постоянной.
Многогранники: это тела со всеми плоскими лицами. Призма: это многогранник, основания которого равны многоугольникам и параллелограммам. Общий двухсторонний сегмент называется ребер. Призма прямая, если края перпендикулярны основанию. Призма является регулярной, если она прямая, а ее основания - регулярные плипгоны.
Рис. 5. Косой параллелепипед
Сначала необходимо нарисовать ближнюю к нам сторону, стенку, грань (это прямоугольник) затем верхнюю. Рисовать надо ее чуть-чуть под углом, как будто бы смотришь на нее немного сбоку.
Теперь необходимо нарисовать правую грань. Так как все грани - это прямоугольники, то нужно следить, чтобы противоположные стороны этих граней были параллельны друг другу.
Объем призмы - это площадь основания по высоте. Паралелепипедо: это призма, проходы которой параллелограммы. Пирамида: это многогранник, основой которого является многоугольник, а грани - треугольники. Пирамида является регулярной, если основание представляет собой правильный многоугольник, а высота проходит через центр.
Пирамида, 4 лица которой являются треугольником, называется тетраэдром. Регулярный тетраэдр является регулярным многогранником, образованным четырьмя равными равносторонними треугольниками. Тела с искривленным лицом. Цилиндр: это тело, которое генерируется, когда сегмент линии смещается, поддерживая себя в двух равных и параллельных окружностях.
Понятно, что, глядя на настоящую объемную фигуру, невозможно увидеть ее сразу со всех сторон.
Остальные, «невидимые», стороны тоже нужны. Поэтому договорились те линии, которые не видны, рисовать пунктиром. Необходимо дорисовать их, соблюдая параллельность. (Рис. 6.)
Объем цилиндра - это площадь основания по высоте. Конус: это тело, которое генерируется, когда сегмент линии перемещается по кругу и в точке. Сфера: это поверхность, которая обладает свойством, что все ее точки находятся на одном и том же расстоянии от точки.
Определить класс треугольников по сторонам. Определить треугольники по бокам. Классы треугольников по бокам. Найдите третий угол треугольника. Найти четвертый угол четырехугольника. Чтобы найти четвертый угол четырехугольника, если мы знаем другие три угла, вы должны вычесть 360 или число градусов других трех углов. Если мы знаем угол, его дополнительный угол можно определить, вычитая угол 90 °. Дополнительные или дополнительные углы.
Рис. 6. Чертеж прямоугольного параллелепипеда
Все, изображение прямоугольного параллелепипеда готово.
У любого прямоугольного параллелепипеда есть 8 вершин. Зачастую их обозначают , , , снизу, , , , - сверху. (Рис. 7.)
Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед 
Если мы знаем угол, его дополнительный угол можно найти, вычитая угол 90 °. Пример. Каков дополнительный угол 43 или? Если мы знаем угол, его дополнительный угол можно определить, вычитая угол 180 °. Вычислить поверхность квадрата. Как узнать поверхность квадрата.
Он похож на поверхность прямоугольника, но основание имеет ту же длину, что и высота. Поверхность квадрата может быть найдена путем умножения базы на себя. . Вычислить поверхность прямоугольника. Как найти поверхность прямоугольника. Поверхность прямоугольника можно найти, умножив вычисление поверхности прямоугольника по высоте. Вычислить поверхность параллелограмма.
6 прямоугольников, вершины которых совпадают с вершинами параллелепипеда, называются гранями:
На рисунке они не все выглядят как прямоугольники, это происходит потому что, мы смотрим на них не прямо, а под углом.
Итак, у любого параллелепипеда всегда 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.
Многогранники. Теорема Эйлера для многогранников.
Как найти поверхность параллелограмма. Поверхность параллелограмма можно найти, умножив основание по высоте. . Вычислить поверхность трапеции. Трапециод - четырехугольник и имеет только пару параллельных сторон. Как определить поверхность трапеции.
- Добавьте длины двух параллельных сторон.
- Разделите на 2, чтобы получить среднюю длину параллельных сторон.
- Умножьте это по высоте.
Как узнать поверхность треугольника. Поверхность треугольника можно найти, умножив основание на полтора раза больше высоты. Найти поверхность круга. Как найти поверхность круга. Если вы знаете диаметр, радиус равен половине его длины. . Вычислить периметр квадрата.
Разберемся подробнее с элементами, о которых мы поговорили: гранями, ребрами, вершинами.
Отрезок ограничен точками. Граница области на плоскости - линия или несколько отрезков.
Из отрезков и их границ (точек) на плоскости мы собираем многоугольники (треугольники, четырехугольники, … 100-угольники).
В пространстве имеем плоскости, их границы - ребра, кроме того, у ребер тоже есть граница - точки под названием вершины.
Периметр квадрата - это расстояние вокруг площади. Квадрат имеет четыре стороны одинаковой длины. Вычислить периметр прямоугольника. Периметр прямоугольника - это расстояние вокруг прямоугольника. Прямоугольник имеет четыре стороны, противоположные стороны которых являются конгруэнтными.
Вычислить периметр параллелограмма. Периметр параллелограмма - это расстояние вокруг параллелограмма. Параллелограмм имеет четыре стороны, противоположные стороны которых являются конгруэнтными. Вычислить окружность круга. Окружность круга - это расстояние вокруг круга. Его можно было бы назвать периметром круга.
Из них можно собирать пространственные аналоги многоугольников - многогранники (рис. 1). Параллелепипед - один из примеров многогранников.
Рис. 1. Отрезок, многоугольник и многогранник
Самый «маленький» многогранник - треугольная пирамида (или тетраэдр) (рис. 2), по аналогии с самым «маленьким» многоугольником - треугольником.
Рис. 2. Тетраэдр
Интересный факт: в любом многограннике выполняется следующее свойство
, где - количество граней, - количество вершин, - количество ребер.
Давайте посчитаем:
1) Тетраэдр: 4 вершины, 4 грани и 6 ребер.
Рис. 3. Тетраэдр
2) Параллелепипед: 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.
Рис. 4. Параллелепипед
3) Пятиугольная призма: 10 вершин, 7 граней и 15 ребер
Рис.5. Пятиугольная призма
Количество вершин и граней вместе всегда на 2 больше, чем количество ребер. И это свойство выполняется для всех многогранников. Это свойство сформулировал Леонард Эйлер в свое время. Свойство так и назвали: Теорема Эйлера .
Где: - количество граней, - количество вершин, - количество рёбер.
У прямоугольного параллелепипеда все грани (их 6) являются прямоугольниками. Все ли эти прямоугольники разные? Конечно, нет.
Держа коробку в руках, можно заметить, что противоположные грани равны, то есть это совершенно одинаковые прямоугольники.
Например, передняя грань равна задней. Точно так же равны друг другу верхняя и нижняя грани, левая и правая.
А есть ли равные ребра?
Да, конечно, можно увидеть, что вертикальные ребра, их 4, все равны друг другу. Аналогично есть еще две четверки равных ребер.
Вопрос: если нужно склеить такой параллелепипед из бумаги, то сколько бумаги необходимо? И как необходимо клеить прямоугольный параллелепипед или другой многогранник?
Сначала нужно сделать развертку прямоугольного параллелепипеда (рис. 8).
Рис. 8. Развертка прямоугольного параллелепипеда
Уже видно на ней 6 граней, попарно равных друг другу. Если согнуть ее по линиям, то получится прямоугольный параллелепипед.
Площадь этой развертки - это то количество бумаги, которое необходимо. Она называется площадью поверхности. Очевидно, она равна сумме площадей всех шести граней.
Теперь можно вывести формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Три ребра, исходящих из одной вершины, могут иметь разную длину. Пусть они будут обозначены , , и . (Рис. 9.)
Рис. 9. Прямоугольный параллелепипед со сторонами , , и
Все остальные ребра равны какому-нибудь из этих значений. Необходимо найти площади всех граней и сложить.
Площадь нижней грани равна , так это прямоугольник. Верхняя грань точно такая же, ее площадь тоже равна . Правая и левая грани имеют площади каждая. Передняя и задняя - каждая.
Складывая все эти площади, получаем площадь поверхности:
Сколько необходимо краски для покраски картонной коробки, если высота, ширина и длина коробки составляют 20, 30 и 60 см соответственно? Расход краски составляет 1 г на каждые 100 см 2 .
Решение
Какую площадь надо покрасить? Очевидно, это площадь поверхности коробки, ведь красить мы будем ее поверхность.
Найдем площадь поверхности коробки. Коробка - это прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности - это сумма площадей всех граней, причем грани попарно равны.
Расход краски - 1 г на 100 см 2 . Чтобы найти необходимое количество краски, делим общую площадь на 100:
Получается, что необходимо 72 грамма краски, чтобы покрасить коробку.
Вывод
На данном уроке был изучен прямоугольный параллелепипед, его основные свойства и элементы. Кроме того, была выведена формула его поверхности и решена задача на применение данной формулы.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс - ЗШ МИФИ, 2011.
5) Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.
2. Портал «Первое сентября» ()
3. Портал «Презентации для школьников» ()
Домашнее задание
1. Сколько краски надо, чтобы покрасить кубик с высотой, шириной и длиной 20, 45 и 60 см соответственно? Расход краски составляет 5 грамм на каждые 100 см 2 .